有断点：Bunching还是断点回归？

最近看到微博上有人提到了Bunching，因其和RDD (regression discontinuity design, 中文一般译作断点回归，也有人缩写为RD）很形似，所以好奇心起，找了相关的论文读了一下。其实很久不看方法论的东西了，满脑子想的其实都是一些实践应用的问题。Bunching却是我孤陋寡闻了，可能其主要应用的领域（公共财政）我不是特别关心吧。

计量经济学里面有很多好玩的“术”，很多都是一张图讲清楚，比如断点回归，比如synthetic control（中文有时译作合成控制法），Bunching大概也可以算作此类。昨晚通读了一下Kleven (2016)的综述，觉得还是有些有意思的地方，就和RDD一起拿出来看看吧。搜了一下，相关中文文献寥寥几篇，可能跟国内做这个方向的学者还不是特别多有关。我没有去进一步阅读中文已经翻译好的内容，可能有所重复。本篇将将作为一篇入门谈谈直觉吧。

先来一段字意和翻译的理解。Bunching这个词上来就把我打蒙了。Bunch我知道，一“束”嘛，但是在这里到底是什么集成了一束？搜了一下，中文目前翻译成聚束效应或者群聚分析法。我其实感觉这个翻译失去了英文本身的直观味道。理解了方法之后，Bunching在这里的原意更像是一个“次优陷阱”导致的集中点，即因为现实的约束，人们的选择不得不集中于一点（有点像封顶工资），从而去看密度分布的时候，形成了一个有点像离散分布的才有的mass point（在这个点对应的概率大于0）。后面会细细分解。还有两个重要的名词也在这里说说，Kink points和 Notch points。我看到这里的时候感觉我是没学过英文，完全无法代入Kink和Notch的形象化原意是什么。后面看了一下，Kink其实和数学里面的尖尖的转折点很像，比如一条直线突然折了一下，那就形成了一个突兀的Kink point，在这点肯定是连续而不可导的了。Notch则取了其缺口的意思，在这里直接断掉了，不但不可导了，直接不连续了。咦，这不就和断点回归听起来很类似吗？简单用R画两张图意思一下。后文直接用英文原词不再翻译了。

在谈论方法论之前，不妨看看问题的来源。既然是经济学家搞出来的方法，那肯定是有现实问题作为背景的（上一个经济学家先于统计学家发扬光大的模型，大概要数工具变量 (Instrumental variable) 了吧？）。其实bunching这个问题来源于税收相关的研究。比如个人所得税实行的一般是梯级税率。以中国的为例，收入高出某一个阶段的部分，一般会征收更多的税率。值得注意的是，这里所说的是边际税率，而不是平均税率。超出36000但不到144000的部分征收10%的税率，但前36000只征收3%的税率，跟总收入无关。

如此的梯级税率会引起什么有趣的后果呢？最早，经济学家关心的是收入税对于劳动供给的影响。理论上，劳动者实际关心的是税后的可支配收入。如果在下一个阶梯税率过高，那么劳动者可能就会减少劳动的付出，因为边际收益（实际的税后所得）在递减，而劳动者付出劳动本身的成本可能在上升（比如加班劳动的痛苦感）。Saez(1999)年开始研究这个问题，结果这篇文章直到2010年才发表，个中故事无从探知。（题外话，Saez 2009年就拿到了“小诺贝尔奖”克拉克奖，而同一批的法国经济学家，还有去年拿到诺贝尔奖的Duflo...外加新生代的Stantcheva，法国经济学家真的是对税收研究不浅。）

Saez发现了什么有趣的现象呢？图3基本可以描述这个机制。原理大致是，对于效率更高本可以赚更多钱的劳动者来说，由于下一梯级的税率上升导致他们税后收入的减少，使得他们对于劳动投入的积极性降低。对于刚刚高于临界点的某个区间的人们来说，他们的最优选择反而是封顶在临界点（比如梯级税率改变发生在临界点1000块，那么原本可以多赚10块的人，可能就只会赚1000块而不会为了多出来的10块付出额外的努力。直觉来说，有点小富即安的意思——劳动者心想，我已经赚了1000块了，够花了，干嘛还拼死拼活多赚10块钱，大部分还要交税！）。对于那些远远高于梯级点的人，他们也会依次减少劳动产出，只获取新税率下对应的最优收入（比如上例中，原本能赚1500块的人，可能只会去赚1400块）。这样Bunching现象的产生显然是由于税率的突然变化，而劳动者等效用曲线本身却是平滑的，一小部分区间内的人便因此被挤压到一个点上故而出现Bunching了。（啰嗦一句，等效用曲线是一个经济学的概念，大致可以理解为等高线，即在这个曲线上每个点带来的效用相等，而曲线的移动代表了更高的效用水平。故而，等效用曲线和外在约束直线的切点便成为了最优选择。）

图3的右图形象地描述了Bunching带来的密度函数形状的变化，也成为了学者们热衷用实证数据来量化的政策的影响。在个人所得税这个例子中，Bunching反映的是劳动者劳动积极性的降低，从而降低了全社会劳动供给量。劳动供给减少了，最终社会的生产量（比如GDP）便会降低。对于政府而言，如何设计税收梯级税率以不至于太过于伤害劳动供给，便成为了一个有实际意义的优化问题。Notch针对的问题不是边际税率会改变，而是平均税率直接改变，那么就会形成一个“洞”。在洞左边，是Bunching现象，而洞的右边，会形成一条新的曲线，所以密度函数的形状会和kink有所区别，中间会有一段“空洞”。我好奇的主要是Bunching这类方法和RDD的对比，故而在此不多赘述Notch了。

那么Bunching和RDD之间又有什么联系呢？RDD其实研究的也是政策的断点：比如去年收入低于某个临界点，才可以被选中参加某些项目。摘一张经典的Mostly Harmless Econometrics书中的配图。图4可以看出，在x=0.5这里形成了一个能否获得干预的断点：高于0.5的人获得了treatment，而低于0.5的人没有获得。在这里，我们可以认为，0.49和0.51的人原本是很像的，就是因为这个treatment的效果，才导致了他们后面结果的不同。在这个局部，我们可以将其近似于一个随机对照试验 (randomized control trial, RCT)。如果结果是跟x高度（线性）相关的（或者可以用一个函数来拟合的），那么这样的treatment effect就还可以扩展到临界点稍微远一些的地方，从而实现了一个优雅的断点回归。

值得注意的是，RDD有一个非常强的要求，就是这个用于区分的变量的本身，不能因为处理（treatment）而改变，也不能被参与的个体而选择，即外生性的要求。有了这么一个外生性的约束，我们才可以进一步做因果推断。比如身高我们一般认为是天生的，而不是后天改变，那么如果以身高作为要求来事实某些侠项目，那么就是一个外生的改变。比如最近美国因为新冠疫情而发放的经济激励补助（2019年收入在10万美金以下的可以获得一些现金），其标准是过去的收入，已经不可能因为发放激励本身而改变了，除非人们去年就能预测到今年的变化并调整收入。而Bunching恰恰相反——政策本身是事先给定的，然后观察的正是人们对这些政策反馈而表现出来的个人选择。也就是说，在Bunching这里，政策不仅不是外生的，而恰恰我们就是要观察政策作为一个内生变量对于人们选择的影响。实证层面，Bunching只是基于理论假设，直接估计密度函数本身来计算对应参数。

看到这里，对比内生性和外生约束的迥异假设，Bunching若是和RDD混淆了，那么结果可能是灾难性的。比如有些网站的会员制度是跟活跃度等相关的，高级会员会有相应特权。这时要是上RDD，那岂不是疯了？这明明是一个激励制度的设计问题啊...就是需要设计这样的制度来激励人们变得更活跃。

此外，Bunching本身在实践中也是有着很多挑战的。最重要的，Bunching现象的出现也取决于决策个体到底有多少自由来改变他们的选择。比如领工资的人相较于自由职业者，他们对于自己收入的调节能力（合理避税）就要差一些。有趣的是，类似的政策在人们更有能力控制自己选择的情况，比如股票和投资收入税方面，Bunching现象显现地便更为明显——大量的人们聚集在某几个临界点附近。

Kleven (2016) 这篇综述里面提到了其他当前应用中的局限性，比如数据本身一般是政府管理数据（例如税收），而很难用于调查数据（受限于测量误差和样本量等）。此外，理性经济人自然是另外一个因人而异的假设。第四章还提到了一些量化本身的挑战，比如kink一般比notch可能更容易肉眼看出，效果也更明显；实际数据还有一些数据本身四舍五入带来的问题。

总而言之，Bunching是一个强烈依赖于经济理论模型本身的估计方法。事先通过理论模型推导出可能导致Bunching的点，才可以进一步去量化模型中的参数。相比而言，RDD其实对于经济理论模型的要求并没有如此之高，只要外生性满足，局部的推断还是相对简单直接的。

非要一句话总结的话，不是有断点就一定可以上RDD的。如果政策或者处理有可能不是外生的，那么请一定慎用RDD。

文末附代码。

library(ggplot2)

## kink v.s. notch points
ggplot()+
  geom_segment(aes(x = 1, y = 1, xend = Inf, yend = 1,colour = "Kink"))+
  geom_segment(aes(x = 1, y = 1, xend = 1, yend = Inf,colour = "Kink"))+
  geom_text(aes(x=1, y = 0.5, label ="Kink Point",colour = "Kink"))+
  geom_segment(aes(x = 0.75, y = 0.6, xend = 0.95, yend = 0.95,colour = "Kink"),arrow=arrow(length = unit(0.03, "npc")))+
  xlim(0,4)+
  ylim(0,3)+
  geom_curve(aes(x = 0, y = 1, xend = 2, yend = 2.5, colour = "Notch"), curvature=0.3)+
  geom_curve(aes(x = 2.5, y = 0, xend = 4, yend = 1.5, colour = "Notch"),curvature=-0.3)+
  geom_segment(aes(x = 2.5, y = 0, xend = 2, yend = 2.5,colour = "Notch"),linetype = 3)+
  geom_text(aes(x=2, y = 2.8, label ="Notch Point",colour = "Notch"))+
  geom_segment(aes(x = 2, y = 2.7, xend = 2, yend = 2.55,colour = "Notch"),arrow=arrow(length = unit(0.03, "npc")))+
  theme_classic()
               
## tax rate by ladder 
library(scales)

tax_rate_plot = ggplot()+
  geom_segment(aes(x = 0, y = 0.03, xend = 36000, yend = 0.03))+
  geom_segment(aes(x = 36000, y = 0.03, xend = 36000, yend = 0.1), linetype = 2)+
  geom_segment(aes(x = 36000, y = 0.1, xend = 144000, yend = 0.1))+
  geom_segment(aes(x = 144000, y = 0.1, xend = 144000, yend = 0.2), linetype = 2)+
  geom_segment(aes(x = 144000, y = 0.2, xend = 300000, yend = 0.2))+
  geom_segment(aes(x = 300000, y = 0.2, xend = 300000, yend = 0.25), linetype = 2)+
  geom_segment(aes(x = 300000, y = 0.25, xend = 420000, yend = 0.25))+
  scale_y_continuous(labels = percent)+
  scale_x_continuous(breaks = c(0,36000,144000, 300000,420000))+
  xlab("Income")+ylab("Marginal Tax rate")+
  theme_classic()

library(png)  
library(gridExtra)
tax_rate_text = png::readPNG("income_tax_rates.png") ## tax rate table downloaded from internet
gridExtra::grid.arrange(grid::rasterGrob(tax_rate_text), tax_rate_plot, ncol = 2)