重温概率论和线性代数

年底的节奏比较舒缓，就有更多的时间来重新拾起一些东西。先是百无聊赖的浪费了一些时间看剧打游戏看小说，基本就是一种不动脑子的打发时间的模式。后面觉得着实无聊了，开始想有什么可以看的。不知怎么的，就动了重温数学的念头。搜了一下网上的各种公开课，发现MIT的线性代数（Gilbert Strang）和Harvard的概率论基础（Joe Blitzstein）评价比较高，就打开youtube开始跟课。

线性代数我其实偷了个懒，没有去跟那个完整版的，而是简单地看了一下Strang教授今年发布的2020版。一共只有五部分，每一部分大概一刻钟，我看之前还在想这个是怎么做到的。看完了，就明白这75分钟的高屋建瓴之处了。大一的时候学线性代数，虽然分数不错，但是其实学了一堆计算却不知所云。后面学到高等计量开始频繁地用到线性代数，才多少有了一些事后的感悟。现在再去看线性代数，觉得这东西真的挺美的，一点一点地串联起多少问题。

话说到这里，多少有点“我吃了七个烧饼发现饱了，是不是直接去吃第七个就好了的”味道。我需要略带羞耻地承认，我大学以后的数学基本都是靠学经济学才学会的（学会指的是有一些理解而不仅仅是记忆公式和定理）。大一一上来的微积分，动不动各种极限和证明，直接懵掉了。概率论学了什么完全不记得了，印象中好像只有一本很薄的小册子，各种证明，然后考试一片茫然。线性代数也是，死记硬背了一堆证明却不知所云。

类似的，我对计量经济学也有差不多的体验。其实第一次学（初级）计量经济学的时候也是一脸懵，第二次学（中级计量）稍微好了一点，后面一遍又一遍地学计量（或者广义地说，线性模型），我才逐渐开始理解回归模型。回头看，这实在是一个成本巨大而痛苦的过程。可是代价如此之高是因为老师教得不好呢，还是因为这些东西本来就难？我现在已经没法回到原点去体会另外一条路径了。只是重温这些基础课程的时候，更容易跟着这些大家公认优秀的教师的思路，来站在更高的层面欣赏数学本身的美，而不仅仅是当作工具。

数学这种学科，学懂了和没学懂差别太大了。学懂了，再厚的教科书都觉得如若无物，要用的时候信手拈来（英文我习惯用internalize来描述这种状态）。没学懂的话，基本就是记住了一堆程序化的操作流程（procedure）却忘记了他们的来龙去脉。这种差别会深刻地影响日后的学习或研究。这两年面试了上百人，我所在意的其实不是一个面试者记住多少公式和模型（比如我允许他们随时google），而是他们是不是真正理解他们用到的模型本身。把统计模型学成了一堆procedure其实是一件非常危险的事情。

概率论这门课我是老老实实地跟完全程的。毕竟是一个学期的内容，34节课，每节课接近一个小时，加起来就有三十多个小时。我并没有快进或者跳跃（主要是在电视上放起来快进比较麻烦），所以陆陆续续花了四五天的时间才把全程跟完。如果是第一次学这门课，这种节奏几乎是不可能的，因为新的信息量其实可能很大。只是我对于这些内容多少熟悉，所以实践起来更像是复习直觉而不是学习知识。这也是让我可以有机会去由衷地感慨原来概率论可以如此简单明了。我开始以为我会经常走神，尤其是已经非常熟悉的内容。结果很多时候，我居然全神贯注地又听了一遍那些熟悉的定理和公式。Blitzstein确实把这门课讲得很深入浅出。印象最深的是他在推导正态分布的时候，明明是那么无趣的定积分和极坐标变换问题，居然可以讲得那么好玩。又一次验证了高斯发现正态分布时候那种“天赐”的感觉。数学的美往往就在这种时刻。凭什么，一切繁琐的符号最终化为这么简洁优雅的记号？

正好在2020年的最后一天和新年交界的时点，看完了这门30多个小时的课程。让我忍不住记录一下，这种别致的、超级满足的跨年方式。