Category: 经济、IT观察与思考

鉴于我上周写的[笔记（四）]让很多人反映太枯燥、太无聊（全是公式...可是这就是笔记嘛，又不是写科普文），我努力让这周的笔记除了公式之外多一点直觉和应用层面的点评。

其实[笔记（一）到（二）]中说了很多回归和分类器的不同了，那么在经历了线性回归方法之后，就来说说分类器好了。我原来一直觉得回归和分类器没有什么本质不同的...主要是最常用的分类器logit和probit都是我在学计量的时候学的，那个时候老师只是简单的说，这两个和OLS都是一致的，只是我们想让预测值在0～1之内所以做一下变换。而且我们那个时候也不叫他们分类器，而是叫他们“离散被解释变量模型”。前几个月的时候，看data mining的东西，看得晕晕乎乎的，就跑去问精通此类模型的同事MJ，让他跟我科普了一下午为什么这两个模型大家更经常称之为分类器...汗颜啊，那个时候我才知道原来machine learning是先分supervised learning and unsupervised learning，然后才是 regression v.s. classification, and clustering...疏通了脉络之后，再看《The Elements of Statistical Learning》这本书，就觉得顺畅多了。以前只是零零散散的接触一个个孤立的模型，没有找出一个脉络串起来过，自然也就不知道分别适用于什么场景。

其实我挺想说的是，从econometrics到data mining，远远没有想象的那么简单。数学工具上或许很顺畅，但是思维上的转变还是需要时间和实践的。真是为难坏了我这个学经济学出身的孩子（其实话说回来，我好好的不去研究经济学，好奇什么data mining呀~只能聊以一句“殊途同归”来搪塞自己，对嘛，反正都是doctor of philosophy, 只要是科学，本质的思考方式应该是相通的）。不过搞清楚之后，还是觉得很好玩的——以前是雾里看花，觉得什么都漂亮；现在渐渐的能够分清楚这些美丽之间的差异了，也算是个小进步吧。

再有个小废话...记得上小学的时候，老师问大家“长大了想做什么呀？”，我们总是会特别有出息的回答“科学家~”。那个时候有门课叫做《自然》，老师总给我们讲各种各样的发明，让我们一度觉得这个世界上的问题都被解决完了，还当什么科学家啊。然后老师就给我们讲哥德巴赫猜想，大意是世间还有那么几个悬而未决的皇冠问题，等待大家长大了去攻克。后来，越读书越发现，有那么多问题人们是不知道答案的，只是从 ambiguity -> uncertainty -> possibility -> probability -> certainty (law)一步步的走下去。有那么多问题，其实都是悬而未决的哲学问题，等待着聪明的大脑去回答。这也是越读书越觉得兴奋的缘故吧，越来越多的时候老师会被问倒，然后说“不知道”...然后好奇心就又开始勃勃生长...然后又发现更多的很好玩但没有答案的问题...周而复始，有意思的很。

-------满足大家的八卦之心之后，笔记开始-------

线性分类器

对应原书第四章。

先是来一点直觉上的东西：分类器顾名思义，就是把一堆样本归到不同的类别中去。那么这类模型的几何直觉是什么呢？很简单，空间分割嘛。最直白的，我们有一群人，组成了一个大的群体。然后现在要把大家归为男女两类，那么空间自然就是被分割为两个子空间——男和女了。

线性分类器是什么呢？分割男和女的时候，可能分割是三个一群，五个一簇的，所以非要画分割的界限的话，八成是山路十八弯的...我们以前说过，这类的模型问题就是可能复杂度比较高（比如参数的个数较多），导致就算训练误差小，测试误差不一定小。所以呢，我们希望这个分割界限是直线的（二维平面下）、或者平面的（三维空间中），或者超平面的（高位空间中），这样就比较清晰明了的感觉了。

线性分类器：logit模型（或称logistic regression）

这里也不完全是按照吴老师上课讲的东西了，因为回头再看这本书会发现书中还有一些很好玩的直觉很强的东西。错过不免可惜，一并收纳。

首先换一下记号～我们在前面都用代表被解释变量，从现在开始对于分类问题，我们改用。

logit模型下，考虑最简单的分为两类，我们有

所以有

这样，分别属于这两组之间的比例就可以找到一个线性的边界了（注：log为单调变换~不影响结果）。这样变换的目的其实无非是，保证，而且两个比例之间存在着一种线性的、或者可以通过单调变换成为线性的关系。类似的当然是大名鼎鼎的probit模型，思路是类似的。

损失函数

显然线性分类器下，在有很多类的情况中，损失函数定义为OLS的残差平方和是没有多大意义的——分类取值只是一个名义量。所以，这里用0-1损失函数：如果，那么损失函数=0；否则，就是没预测准，损失函数=1。写为数学形式，就是损失函数定义为：

所以我们的目标就是，最小化损失函数的期望：

(条件期望迭代)。

LDA：linear discriminant analysis(贝叶斯意义下)

从贝叶斯的角度，我们有，

为k出现的概率。

假设X服从联合正态分布，那么我们有。

再假设协方差矩阵，所以我们比较两类和的时候有：

这样就形成了一个x的线性方程，所以我们找到了一个超平面，实现了LDA。

实践中我们需要估计联合正态分布的参数，一般有，其中为分类k出现的样本数；，即这个样本中，x观测值的平均数；。

Fisher视角下的分类器

Fisher提出的观点为，分类器应该尽量使不同类别之间距离较远，而相同类别距其中心较近。比如我们有两群，中心分别为

和，那么我们希望尽量大，同时群内方差

尽量小。通过对x进行投影到，我们可以化简的得到

且。这样一来，我们的准则就是：

由于是正定阵，所以我们可以进一步写为

其中是的特征向量。最终可以求的，最优的正是的最大特征向量。

说实话，我对LDA（或者QDA）的理解都非常有限...这本书里面还有一节说到LDA和logit怎么选，我也是大概看了一下没有特别的看明白...笔记只是如实记录，海涵。暂时还不知道讲到Fisher到底是想讲什么...理解力好有限，唉。

------最后的碎碎念------

除了统计学习精要，Coursera的Model Thinking也终于结课了，做完了期末考试卷，感觉心里空空的。这门课真的是开的非常深入浅出，覆盖了这么多学科、问题的各种模型，非常有助于逻辑思考和抽象。只是多少有些遗憾的，很多东西来不及细细回味，听过了视频就忘了，没有努力的去理解那些模型背后的逻辑。这也是导致最终的期末考试做的不怎么好的缘故——我不想去翻课堂视频或者笔记，只是想考验一下自己对于这些模型的理解和记忆能力。事实证明，除了那些跟经济学或者数学紧密相关的模型，其他的都多多少少记得不是那么清晰了。过阵子应该好好整理一下这门课的笔记，算作是一个良好的回顾吧。

不知道为什么，工作之后再去学这些东西，真的感觉力不从心的时刻多了很多。这半年只有这么区区两门课，就让我觉得有时候不得不强迫自己一下赶上进度，强迫的手段之一就是在落园开始写连载（大家容忍，谢谢~）。不过为了保持一个基本的生活质量，还是应该不时看看这些新东西的，要不生活都腐朽了。