1. SVM优化问题
1) 原问题
2) 拉格朗日形式的表述
其中，
。
3) 对偶问题
4) SVM分类器
(i) 
(ii) 选
，
，然后
。
(iii)SVM分类器 
2. SMO算法
1) 基本思想：迭代下降、坐标下降
一次要选择两个变量（否则会破坏
的约束），之后就可以解这个双变量优化问题。
2) 两个变量的优化
任取
,
作为变量，其他
作为常量。
展开的矩阵大致如下：
目标函数=
这样
,
,
,
。
约束
(对应对偶问题)
，这里d代表其余不改变的那些
。
化到单变量的话，
所以，
，最优条件
，其中
和
分别为lower/upper bound。故必有最优点在L、H之间或者L、H之一。
，
，可以解得
这里虽然需要迭代很多次，但是迭代的每一步都比较快。
至于如何选择
，第一个变量可以选择
，同时
最大。第二个变量选择
最大的。
这节课主要是讲线性优化的对偶问题。感觉这东西貌似在运筹学的时候被折腾过一遍，现在又来了-_-||
附赠个老的掉牙的段子...
有人问经济学家一个数学问题，经济学家表示不会解...
然后那个人把这个数学问题转成了一个等价的最优化问题，经济学家立马就解出来了...
好吧，我还是乖乖的赘述一遍对偶问题吧，表示被各种经济学最优化问题折磨过的孩子这点儿真是不在话下。
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1) 优化问题
一个典型的最优化问题形如：
(不等式约束)
（等式约束）
2) 优化问题的Lagrange （拉格朗日）函数
3) 对偶函数
称为该优化问题的对偶函数。此时，
，显然这个时候一阶偏导数为0。
4) 对偶问题
我们称
为原优化问题的对偶问题，可化为最优化问题的标准形式
。
如果原优化问题为凸优化，则
必为凹函数，从而最终的标准形式依旧是一个凸优化问题。
5) 弱对偶性
令
为原问题的解，则
，且
，
.
令
为对偶问题的解，则
; 
.
定理（弱对偶性）：
，即对偶问题的优化值必然小于等于原问题优化值。
6) 强对偶性
当
时，两者具有强对偶性；满足该条件的称之为constraint qualifications，如Sliter定理。
强对偶性满足的时候，原优化问题就可以化为一个二步优化问题了。
7) KTT条件（库恩-塔克条件）
局部最优化成立的必要条件：
（一阶条件）
注：SVM满足强对偶性，所以可以直接解对偶问题。
1) SVM的最优化问题
上节课可知，SVM的最优化问题为：
写成标准形式就是
这样这里总计有2N个约束条件。
对应的Lagrange函数为：
这样一阶条件就是
这样最后我们有
.
3) 对偶函数
这里的对偶函数就是
4) 对偶问题
5) KKT条件
6) SVM分类器
, 
：找到一个
（非边界上），从而满足
。由
，我们可得
, 
，故只与内积有关。这样下节课就会讲到解对偶问题的方法，以及SVM和kernel methods的联系。
支持向量机——最大边距方法
前言：这节课我人在北京，只能回来之后抄一下笔记，然后对着书和wiki理解一下....有什么错误还请大家及时指出。
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，线性模型先说一下个人理解的SVM的直觉。下图来自wiki。二次元中的SVM就是想找到一条直线（或者对应高维空间下的超平面）来尽可能的分割开两组数据。比如图中H3和H2这两条直线虽然都可以分开这两组数据，但是显然H3离两组数据都远一些——这就是SVM遵循的最大边距准则。
而在实践中，我们把二类分类分别作为正负1，所以两条距离该分割线平行距离1的直线就应景而生。在这两条直线上的点我们称之为支持向量（SV）。
1) 线性可分：存在
使得
为分割超平面。
2) 一个点到超平面
的距离：
3) 分割超平面的正则表示
数据集到某个超平面的距离
。将
标准化，则
。
4) 最大边距准则 
5) 线性可分时的SVM
等同于
这样就有了一个sign分类器。
6) support vector：分离超平面落在隔离带的边缘，满足
的
被称为SV。
7) 优点：
不满足约束的时候，可以做一些放松——引入
作为松弛变量。
这样原来的最优化问题就变成
最优的分类器则为
这里大概示意了
的应用场景。左边是上述完全可分的情况，右边是没法分开，所以我们容忍一些误差，只要误差之和在一个可以接受的范围之内。
这里的直觉大概是，在低维空间较为稠密的点，可以在高维空间下变得稀疏。从而可能可以找到一个高维空间的线性平面，把他们分开。
原来的数据集是：
然后定义一个从低维到高维的映射：
，使得
。其中
原本属于
，此时被映射到一个高维的
，可为无限维Hilbert空间（这里我只是照抄笔记...）。
映射之后的
，之后就是传统的寻找一个线性平面。
的例子：
，这样就打散到一个高维的空间（圆）。
下节课是线性SVM的计算。
好像很规律的似的，每半年落园就要大折腾我一次...反正鼓捣wordpress这么长时间了，已然习惯了。
这次是莫名其妙的服务器宕机，然后联系客服无果（昨天才算联系到了一个人...），然后受不了网站一直挂在那里，果断搬家了（最纠结的是当时还在上海到北京的高铁上，3G+翻墙各种不稳定）。转投BlueHost的怀抱，信用卡刷刷的顺便心里小小滴一下血...
然后悲催的发现最新的备份居然是去年10月的，我...只能郁郁的先把这些文章导进去...然后开始漫天的搜，果然还是有解决策略的（隐约记得谁说过可以通过RSS恢复）。
然后第一件事儿就是去装个了备份插件，这次学乖了直接放在Google Drive上，用的是UpdraftPlus - Backup/Restore。
在众多日志中觉得这个"通过Google Reader恢复WordPress日志"还算靠谱，就比着葫芦画瓢了一番。文章是恢复了，但是里面那堆Latex公式就彻底挂了...无奈之下，去看google reader直接导出来的xml(atom格式）文件，发现厚道的是公式居然还在图片的alt里面（需要先decode一下），形如这个：
<span><img src="tex_5117609d4239740f7e4072b9508c4742.gif"
style="vertical-align:middle;border:none;padding-bottom:1px" alt="n_{L}"></span>是网络输出的个数。</li>
这样就可以直接正则表达式提取了...我是用的notepad++（试了一下R的XmltoList，但是中文全给我转成UTF8的样子让我很不爽，果断放弃了），所以输入的是
<img(.*?) alt="(.*?)">
然后替换为：
\
这样一下子就把公式又换成$$的形式了。
上面链接里的php文件有点问题，不能恢复tag。我也懒的整了，依旧是正则表达式提取：
<category term="(.*?)"/>
然后替换为半角逗号分割
\1,
好在日志不是太多，100多篇手动又检查了一遍（主要是有些图片丢了需要重新上传）。这样貌似就正常了。多说有点抽风，没法把评论备份到本地数据库了，不过现在看着还算正常我也就懒得去跟它纠结了。
暂时先这样吧，然后去恢复英文博客去...其实我对英文博客更没底儿，不知道上个备份在哪儿-_-||反正搞独立博客就是一折腾。忍了。
前馈神经网，BP算法，AE（自编码器，Auto-Encoders)
前馈神经网大致就是这个样子，一层一层的结构。这样，我们就由第一代的神经元系统繁殖出来了一个神经元群落...看起来很高深的样子。
先说一些参数和记号：
，
：表示第
层中神经元的个数。特别的，
为所有输入变量的个数（x的维数），
是网络输出的个数。
，
，
：相邻两层（到
)之间的连接的权重。
：第层第
个神经元的偏置值。
,,：第层第个神经元的状态值。
,,：第层第个神经元的活性（activation)，或称为输出。基本关系：
，
，模型：
为
的映射。
给定数据
，定义
那么
接下来的拟合优化问题就是最小化
。这里可以采用梯度下降：
，
，所以需要求得这两个梯度（偏导）项。
定义
，这样
，其中
。
类似的，
为了解
这个东西，我们需要后向递归。
首先在第L层：
，然后
For L-1,...,1，我们有
，这样就一直可以迭代反推至第一层。
3. AE（自编码器，Auto-Encoders)
自编码器可以算是一个简化的神经网，大致只有三层：0，1，2。其中输入是x，输出也是x，但是中间进行了一个过滤。直观的讲，就像一个文件压缩了一下，又解压缩。中间压缩包的体积要比源文件小，但是信息却基本没有损失。
AE基本上想达到两个目标：
1. 
，即中间那层的维数小于原始输入的维数p。
2. 或者输出的均值非常小，即从第一层到最上面一层的输出较为稀疏，不是很强烈的关联。
下节课会讲到SVM。