照例继续本周笔记。这次我没啥废话了...
--------------笔记开始---------------
投影矩阵与消灭矩阵
首先是上次没证的若干OLS性质。基本都是公式。我就照抄原来econometrics做的笔记了。权当复习了...对计量有兴趣的、线性代数还不错的，建议去看《Microeconometrics- Methods and Applications》（?A. Colin Cameron / Pravin K. Trivedi ）。
先定义两个矩阵，这两个矩阵会在某种程度上save your life while learning econometrics...投影矩阵和消灭矩阵。
复习一下，OLS估计量是 
，然后对应的Y估计量是
。所以，我们定义投影矩阵P为
，这样就有了
。也就是说，我们对Y进行了一次投影，然后得到了一个估计值。当然定义投影矩阵并不仅仅是写起来比那堆X简单，而是投影矩阵本身有着一系列良好的性质。
我们先来看把P投在X上会怎么样。显然，
，也就是说P不会改变X的值（本来就是把一个东西投到X上嘛~自己投自己怎么会有变化的嘛）。
然后呢，对P进行转置，则
，所以接下来
。
再定义消灭矩阵M。很简单，我们定义M为
，其中I为单位阵（对角线元素为1，其他为0）。这样M又有什么性质呢？显然
，也就是说M对Y的效果是得到误差项。而与此同时，M对于X的作用就是
，所以称为消灭矩阵嘛。继续，进行转置，则
，所以我们还有
。
OLS估计值的方差
再次友情提醒，X不是随机变量，所以不要跟我纠结为什么没有条件期望公式之类的东西...
扰动项服从
时，或者大样本下，OLS估计量的方差为：
这里
为样本方差，所以其分布为： 
。这样一来，就有了一个t检验：
。
大样本下，就直接用正态检验好了。此外，如果我们进一步的有更多的同时检验的约束条件，那就是联合检验F。这个就不赘述了...
高斯-马尔可夫定理
顺便还证了一下高斯-马尔可夫定理...这个不像OLS，每次我可记不住他的证明，每次都是现翻书...
我就直接抄wiki了。
选择另外一个线性估计量
，然后C可以写为 
，则D为k*n的非空矩阵。
那么这个估计量
的期望是 ：
所以，为了保证 无偏，则必有
.
继续求方差：
是一个半正定矩阵，
肯定要比
大~得证。
变量选择与收缩方法
为了降低测试误差（减少函数的复杂度），有时候会放弃无偏性而进行变量选择。这里首先就是Ridge OLS（岭回归）。还是算一下这个东西好了。
岭回归就是对估计量另外加一个约束条件，所以很自然的想到拉格朗日乘子法。ridge regression的目标函数为，
可以重写为
记
这样我们就得到两个一阶条件：
和
，所以有：
这里还可以看出，
的取值都是对应
的。
Lasso则是把
改成
，已经没有解析解了...
至于为什么叫收缩方法，可以将X进行奇异值分解，然后可以得出
的方差将变小...我就不写证明了，感觉这一块儿讲的也不是很透彻。