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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（十一）

上海的冬天越来越冷了，这门课也越来越临近这学期结束了。这节课公式推导不多，有也是那种烂熟于胸无数次的，所以可以稍稍歪楼，不时掺杂一点八卦什么的。

BootStrap

1. 定义

BootStrap的基本思想就仨字：重抽样。先开始八卦~

跟高斯窥探天机猜出来正态分布的密度函数表达式相似，Efron搞出来BootStrap的时候，大概也在偷偷的抿嘴而笑吧。“上帝到底掷不掷骰子呢？”，每次我们都在揣测天意，也是现在越来越有点理解为什么牛顿老先生晚年致力于神学了。每当我们猜中一次，就会有一个新的突破到来。BootStrap思想简单到如斯，以至于我的一位朋友在当高中老师的时候（可惜是美国不是中国），就尝试着跟 teenagers 介绍BootStrap思想了（貌似用的还是Econometrica上的一篇文章，我瞬间声讨“你们这群高中老师真凶残-_-||）——结果显然是我多虑了，那群熊孩子居然表示理解毫无压力！可见BootStrap这个东西是有多么的平易近人。什么测度论什么高等代数都不需要，会摸球就可以了！

顺便抄一下杨灿童鞋《那些年，我们一起追的EB》上的一段八卦：

五十多年前，Efron为 Stanford 的一本幽默杂志 Chapparal 做主编。那年，他们恶搞 (parody) 了著名杂志Playboy。估计是恶搞得太给力了，还受到当时三藩的大主教的批评。幽默的力量使 Efron 在“错误”的道路上越走越远，差点就不回Stanford 读 PhD 了。借用前段时间冰岛外长的语录：“Efron 从事娱乐时尚界的工作，是科学界的一大损失！”在关键时刻，Efron在周围朋友的关心和支持下，终于回到 Stanford，开始把他的犀利与机智用在 statistics 上。告别了娱乐时尚界的 EB，从此研究成果犹如滔滔江水，连绵不绝，citation又如黄河泛滥，一发不可收拾...

所以说嘛，天才之人做什么都是能闪光的，Efron从事科学界的工作，怕也是美国几亿人民周末娱乐的损失吧。好了，满足了你们这群越来越挑剔的读者八卦的胃口了，开始正儿八经的说BootStrap。

我们有观测数据集，然后对这N个样本，进行有放回的重抽样。每轮我们还是抽N个，然后一共抽B轮（比如几百轮，话说前几天weibo上有人问“如果给你一万个人，你要做什么”，放在这里我就要他们不停的抽小球抽小球抽小球，哈哈！）。这样就得到了新的观测样本。

2. 应用

BootStrap几乎可以用来干各种合法的不合法的事儿，只要是跟数据估计有关的...这就如同你问一个画家，“什么最好画？”“上帝和魔鬼，因为大家都没有见过。”大家都没有那么明确的知道BootStrap的界限在哪里，所以BootStrap就被应用在各种跟估计有关的地方了。

在统计学习中，我们最常用的可能就是估计精度：对于每一个，我们都可以得到一个预测函数，然后就对于给定的，有B个预测值，这样就可以做直方图什么的，还可以排排序算出来的置信区间。

最大似然估计（MLE）

我们有一族密度函数，其中为参数集，可不止一个参数。按照概率的定义，我们有，而且。

数据方面，我们有一组数据，为\emph{i.i.d}（独立同分布）。

这样就可以写出来似然函数： ，从而可以写出来对数似然函数：。接下来驾轻就熟的，我们就有最大似然估计量：。

最大似然估计之所以这么受欢迎，主要是他有一个非常好的性质：一致性，即当，估计值收敛于真值。

仅仅渐进一致还不够，我们当然更喜欢的是MLE的附加优良性质：渐进正态，即，其中称为信息矩阵，定义为。实际中，如果我们不知道真值，则会用估计值来代替正态分布中的参数。（没想到事隔这么多年，我居然又手动推导了一遍MLE...真的是，我跟统计的缘分怎么这么纠缠不断呀）。

MLE大都要求数值解的，少数情况下可以求解解析解。比如正态分布。

正态分布的密度函数为：，所以我们有对数似然函数：

还有一个特例是正态线性回归模型（Gauss-Markov），即，其中，这个就和OLS的BLUE性质蛮像了，MLE和OLS对于此种情形估计值是完全一样的。所以说高斯王子在搞出OLS的时候，也是各种深思熟虑过的...揣测上帝的“旨意”也不是件信手拈来的事儿的。

简单情形下，我们可以直接求得估计量的置信区间，但是在复杂的情形下，就只能用BootStrap了。人们的思路就从传统的数学推倒，越来越多的转换到计算能力了。有的时候稍稍感觉这更符合统计学的思维——归纳嘛，这也是统计学在computer

area和数学渐行渐远的表现之一么？

吴老师总结了一句话：BootStrap类方法，就是思想简单、实际有效，虽然不知道为什么...

模型平均

模型平均也是有点延续上面的BootStrap思想，就是我有很多重抽样出来的模型之后，要怎么平均这些结果来找出最优模型的。

1. Bagging方法。 这个就有点直截了当了。利用BootStrap，我可以，然后自然收集了一堆，所以简单一点就平均一下：

2. Stacking方法。这个就稍稍动了一点心思，直接平均看起来好简单粗暴呀，还是加权平均一下比较细致一点。所以：，其中权重。实际操作中，的选取也是一个蛮tricky的事儿。可以利用validation集来优化...

3. Bumpping (优选)方法。，即在所有的中，选择最好的那个，使得一定标准下的损失最小。

话说，Machine learning或者统计学习，无非就是四件事儿：数据(D)、函数族()、准则()、算法(A)。说来说去，每一样改进都是在这四个的某一方面或者某几方面进行提升的。

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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（六）

呃，我觉得我的笔记稍稍有点混乱了...这周讲的依旧是线性分类器，logit为主。anyway，大家将就着看吧。

logistic regression

首先我们考虑最一般的，有K种分类的场合。依旧，我们用来代替作为观测到的分类结果，那么则有：

为最优的预测结果。这里我们希望找到一种线性的形式，还需要使用一些单调变换保证预测值在之间。因此，我们对于每个分类，假设

进一步的，我们取任意类K作为对照组，且各组相加概率之和必为1，所以有：

且

所以，最终得到两组之间的概率比值为：

最后求解的时候，就是直接用最大似然准则，来求解

这个最大似然函数计算起来比较麻烦，通常很多是数值解。下面以为例，来展示求解过程。

首先我们这个时候有两类，不妨记作1和0，则

则它的对数似然函数:

然后我们求导可得：

之后可以用牛顿法迭代求数值解：

其中二阶导数部分可以化简为：

记

且

则

经过简化之后，这里相当于加权的最小二乘法，目标函数为

所以整个算法可以写作：

0. 令或任意起始值

1. 计算矩阵.

2. 新的为.

3. 重复1，2步直至收敛。

这类方法成为IRLS（不断重写的加权最小二乘法）。

LDA和logit选择

其实也没什么定论，两者均为线性，只是一般我们认为LDA需要假设联合正态且方差相等，比较强；而logit假设没有这么强，相比而言更稳定。

perceptional分类器

perceptional分类器是一类相对简单的分类算法，以两类场合为例。为了方便起见，我们假设两类为1和-1，则目标是找出一条直线可以完全分割出来两群点。这里转化成数学的语言，就是找到W使得

或者简化为：

算法也很简单：

1. 给定任意的W值，比如0. 如果，出错。

2. 令新的，重复第一步。

这里可证一个定理：如果原数据集是线性可分的（即W存在），那么在有限步内perceptional算法收敛。其实从第二步可以看出，这样的改进总是趋近于目标的：，一定是在逐步增加的。

同样的算法推广到多累场合，我们就需要引入特征向量，使得条件概率。这样我们的目标就是找到使得

同样的，从0开始，当时，，直至收敛。

不过有意思的是，实践证明，最后使用训练过程中的的平均值效果会更好，而不是最终的值。

--------笔记结束，废话开始--------

到这里，分类器吴老师已经介绍了三类：LDA，Logit和perceptional。其实我一直觉得比较好玩的是分类器和聚类方法的对比——虽然一个是有监督，一个是无监督的学习，不过有的时候我们就算有的观测值也不一定直接就去用——聚类方法某种程度上显得更加自然一些。这也是大家把模型与实际业务相结合起来的成果吧，总要更符合业务上的直觉才可以。是自然的展现群落的形态，还是给定一些条条框框只是去预测？实践中真的是，都去试试才知道那种更符合一个具体案例的需求。这也是在industry玩的比较开心的缘故，没有那么多条条框框，没有那么多“约定俗成“的规矩，需要自己去一步步挖掘这些算法的用武之地。看着一个个自己熟悉或者陌生的模型被逐渐的改造和应用，也是一件蛮开心的事情呢。

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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（四）

照例继续本周笔记。这次我没啥废话了...

--------------笔记开始---------------

投影矩阵与消灭矩阵

首先是上次没证的若干OLS性质。基本都是公式。我就照抄原来econometrics做的笔记了。权当复习了...对计量有兴趣的、线性代数还不错的，建议去看《Microeconometrics- Methods and Applications》（?A. Colin Cameron / Pravin K. Trivedi ）。

先定义两个矩阵，这两个矩阵会在某种程度上save your life while learning econometrics...投影矩阵和消灭矩阵。

复习一下，OLS估计量是 ，然后对应的Y估计量是。所以，我们定义投影矩阵P为，这样就有了。也就是说，我们对Y进行了一次投影，然后得到了一个估计值。当然定义投影矩阵并不仅仅是写起来比那堆X简单，而是投影矩阵本身有着一系列良好的性质。

我们先来看把P投在X上会怎么样。显然，，也就是说P不会改变X的值（本来就是把一个东西投到X上嘛~自己投自己怎么会有变化的嘛）。

然后呢，对P进行转置，则，所以接下来。

再定义消灭矩阵M。很简单，我们定义M为，其中I为单位阵（对角线元素为1，其他为0）。这样M又有什么性质呢？显然，也就是说M对Y的效果是得到误差项。而与此同时，M对于X的作用就是，所以称为消灭矩阵嘛。继续，进行转置，则，所以我们还有。

OLS估计值的方差

再次友情提醒，X不是随机变量，所以不要跟我纠结为什么没有条件期望公式之类的东西...

扰动项服从时，或者大样本下，OLS估计量的方差为：

这里为样本方差，所以其分布为： 。这样一来，就有了一个t检验：

。

大样本下，就直接用正态检验好了。此外，如果我们进一步的有更多的同时检验的约束条件，那就是联合检验F。这个就不赘述了...

高斯-马尔可夫定理

顺便还证了一下高斯-马尔可夫定理...这个不像OLS，每次我可记不住他的证明，每次都是现翻书...

我就直接抄wiki了。

选择另外一个线性估计量，然后C可以写为 ，则D为k*n的非空矩阵。

那么这个估计量的期望是 ：

所以，为了保证 无偏，则必有 .

继续求方差：

是一个半正定矩阵，肯定要比大~得证。

变量选择与收缩方法

为了降低测试误差（减少函数的复杂度），有时候会放弃无偏性而进行变量选择。这里首先就是Ridge OLS（岭回归）。还是算一下这个东西好了。

岭回归就是对估计量另外加一个约束条件，所以很自然的想到拉格朗日乘子法。ridge regression的目标函数为，

可以重写为

记

这样我们就得到两个一阶条件：

和，所以有：

这里还可以看出，的取值都是对应的。

Lasso则是把改成，已经没有解析解了...

至于为什么叫收缩方法，可以将X进行奇异值分解，然后可以得出的方差将变小...我就不写证明了，感觉这一块儿讲的也不是很透彻。

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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（三）

照例文章第一段跑题，先附上个段子（转载的哦~）：

I hate CS people. They don't know linear algebra but want to teach projective geometry. They don't know any probability but want to use graphical models. They don't understand stats at all but still do machine learning like crazy.

喵，最近被问了好几次machine learning 和statistical learning的区别在哪里，我觉得大致如上吧。这也是为什么，对后面这个词我的好感稍稍好于前面那个的原因...科学总是有意义的嘛，不能总是依靠强力乱猜是不是嘛。

免责声明：以下个人见解部分局限于我个人的见识和思考范围，不适用于所有场景。请大家弃糟粕取精华，不可一言全信之。

-------------笔记+随想开始------------

高维空间问题

这一段主要是说大名鼎鼎的＂维数灾难＂。我们都知道有两个数字决定着OLS中X矩阵的大小，这就是 观测数目N 和观测变量的个数p 。一般说来，我们都喜欢N比较大，这样可以很容易的应用大数定律什么的。然而对于p，却是既爱又恨—我们当然喜欢可以观察到个体的很多个特征，但是所谓＂乱花渐欲迷人眼＂，特征越多噪音也越多，搞不好预测的时候就会有麻烦（关于变量的选择问题，应该是下一节课的内容。心急的可以先看看我以前的一篇自学笔记）。

为什么维数增多的时候会麻烦呢？这里主要是随着维数增多带来的高维空间数据稀疏化问题。简单地说：

  • p=1，则单位球(简化为正值的情况）变为一条[0,1]之间的直线。如果我们有N个点，则在均匀分布的情况下，两点之间的距离为1/N。其实平均分布和完全随机分布的两两点之间平均距离这个概念大致是等价的，大家可稍微想象一下这个过程。
  • p=2，单位球则是边长为1的正方形，如果还是只有N个点 ，则两点之间的平均距离为。换言之，如果我们还想维持两点之间平均距离为1/N，那么则需个点。
  • 以此类题，在p维空间，N个点两两之间的平均距离为，或者需要个点来维持1/N的平均距离。

由此可见，高维空间使得数据变得更加稀疏。这里有一个重要的定理：N个点在p为单位球内随机分布，则随着p的增大，这些点会越来越远离单位球的中心，转而往外缘分散。这个定理源于各点距单位球中心距离的中间值计算公式：

当时，。（很显然，当N变大时，这个距离趋近于0。直观的理解就是，想象我们有一堆气体分子，p变大使得空间变大，所以这些分子开始远离彼此；而N变大意味着有更多气体分子进来，所以两两之间难免更挤一些。看过《三体》的，大概会觉得这个很熟悉的感觉吧...四维空间下的＂水滴＂再也不完美的无懈可击，而一张一维的纸片就毁灭了整个地球呢。）

这个距离公式的推导就暂时不写了，好麻烦...大致是利用了各个点独立同分布的特性（完全随机情况下），把median距离变为以1/2概率大于中位数的概率集合公式，再进一步展开为单点距离累乘公式。

比如当p=10, N=500的时候，约为0.52，也就意味着有一半多的点离中心的距离大于1/2。

高维问题为什么是问题呢？回顾一下K近邻算法，我们用x的邻居来代替x，这样就希望他的邻居们不要离他太远。显然高维空间使得点和点之间越来越远。所以说，knn更适合小p大N即低维多观测量的情况，而在高维空间下可能会变得很麻烦。

这样，statistical learning的主要两个问题就总结完了：

  • 过拟合：为了控制预测误差，我们要选择适合的函数类。
  • 高维空间：随着维数的增多，我们面临着维数灾难。这对很多算法都有波及，主要体现在高维数据稀疏化。

回归的线性方法

这里主要是一些linear regression的东西，作为被计量经济学折磨了这么多年的孩子，我表示很淡定...此外还加上我们俗称的generalized linear models，即GLM。一些线性变换而已，无伤大雅。

这里一定要强调的是，在这里我们亲爱的X居然不是随机变量！多大的一个坑啊，我就华丽丽的掉下去了还问老师为什么无偏性不需要假设均值独立什么的... X不是随机变量意味着什么呢？X是人为设定或者决定的，比如我一天浇200 ml 或者500 ml水，然后看对于植物生长的影响。当时我真的是想＂一口老血喷出来＂，这也太舒服了吧！要知道大多数情况下X也是随机变量哇，比如身高体重什么的。如果它不是随机变量而只有扰动项是独立的随机变量的话，整个计量经济学怕是要删掉好多篇幅了呢。我想说的只有，这群搞statistical learning的好幸福...

X不是随机变量的时候，为了满足无偏性的假设，只需要扰动项不相关且期望方差存在就可以了。期望不为0不要紧，回归的时候放进去常数项就可以了。

此外，对于任意一个正定阵W，我们都可以直接在回归方程两边乘以W，从而。也就是说，我们可以给X进行加权处理，加权矩阵W之后可以进行新的OLS估计，且可能会有对应的优良性质。加权最小二乘法我就不在这里复习了，学过计量的应该很熟悉，比如处理异方差什么的。

再就是我们可以给加上一些约束条件，这样的话最小化问题后面就可以简单的使用拉格朗日乘子法来解。

这次的收获之一就是OLS估计量的计算。在实践中，我们计算OLS估计值并不是直接使用，而是会事先进行QR分解（利用特征值来算）。即，我们把X分解为化为正交（酉）矩阵Q与实（复）上三角矩阵R的乘积。这样一来，

这样可解，计算时候的稳定性比直接求逆矩阵来的好很多，因为计算机必竟有数字长度的限制，各种位数带来的精度损耗最后会累积到估计量上。

最后就是高斯-马尔科夫定理，就是我们常说的BLUE估计量。我就直接拷贝这个定理了：

在误差零均值，同方差，且互不相关的线性回归模型中，回归系数的最佳无偏线性估计（BLUE）就是最小方差估计。一般而言，任何回归系数的线性组合的最佳无偏线性估计就是它的最小方差估计。在这个线性回归模型中，误差既不需要假定正态分布，也不需要假定独立（但是需要不相关这个更弱的条件），还不需要假定同分布

进一步的，如果假设扰动项服从正态分布，比如白噪声，那么的估计值也服从正态分布，y的预测值也服从正态分布，因此可以直接做一系列基于正态分布的假设检验。特别的，在大样本情况下，就算扰动项不是正态分布，我们也还是可以利用大数定律和中心极限定理...事实上一般也是这么做的。

本节课到此结束。老师没有一一推导无偏性最小方差这些性质，我倒是觉得对回归方法感兴趣的还是直接去看计量经济学吧。这东西水还是蛮深的。

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降维模型若干感悟

前几天集中爆发了一些email，直到最后和Frank兄提起，他说我应该去看一下 Adaptive Lasso，我才终于痛下决心开始看这方面的东西。先说说为啥开始看Lasso。

需求。大数据时代，任务有很多：

  • 理论层面，要有适应大数据的模型。一方面是数据量的增加（表现为个体记录的增长），一方面是数据维度的增加（简单的说就是回归方程右边的变量），让大数据这个任务变得格外艰巨（p.s. 这个不是我总结的，照抄上次ShanghaiR沙龙时候Ming的原话...话说我别的没记住，就这句话深深的印在脑海了，哎~）。
    • 数据量的增加，对应的是大样本理论。这个好玩的有很多，暂且不表。
    • 数据维数的增加，则需要相应的降维模型。你总不能在回归方程右边放入几千个变量，“维数灾难”啊...所以变量选择是个很好玩的话题。
  • 应用层面，一个模型性质再漂亮，你也要能算得出来才行是不是？
    • 首先就是要有个好的算法，比如在「统计学习那些事」中提及的LAR对于Lasso的巨大贡献。
    • 其次，什么分布式计算啊，并行计算啊，都成为热呼呼的实践问题（当然我还是go against那些不管三七二十一、直接软件中调用模型的。任何一个模型的假设和局限性都是应该首先考虑的，要不真不知道预测到哪里去了呢~）。

好吧，好久没用这么多层级了。只是昨天稍稍理了理思路，顺便写在这里，算作「感悟一」。

然后，说到底统计学还是为其他学科服务的（好吧，我是想说数据不是无源之水，总归有自己的背景，总归有在这个背景领域的人希望借助数据来解决的问题）。那么作为一种empirical method，统计模型关心的是什么呢？在被计量经济学熏陶外加祸害了若干年后，发现它本质还是为了经济学研究的一些目的服务的，所以关注的更多是consistency，大家张口闭口就是“变量外生性”...而这多少有些直觉+经验判断的东西。显然，统计模型不仅仅是计量经济学，昨天看「The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction」，大致的关于统计模型关心的判断标准的「感悟二」总结在这里：

  • consistency：这个还是逃不掉的，一致性在大样本下虽然比小样本的无偏要求来的弱得多(plim毕竟比期望算子好“操作”一些)。其实有一段时间我一直很抵触把计量经济学里面的causality叫做因果关系，学习计量模型的过程基本就是保证估计一致性的推导过程...想说的只是，真正的因果关系不是统计学就可以定义的，还是要回到学科本身。consistency更多包含着“internal validity”的味道，即一个结果可以期望在样本本身内重复实现。个人感觉，从经济学理论与实证研究的角度，这大概是计量经济学能达到的最多的程度了吧。再苛刻的因果真的就是经济理论本身的问题了。
  • accuracy: 统计还有一大任务，做预测。我们都知道OLS有的时候可以很简单的给出一个consistent的估计量，但是仅仅是均值意义上的估计还是不够的，对你还得给出个方差。这个方差就刻画了你的估计值是不是飘来飘去。我们当然希望一个方差比较小的估计量，所以大多数时候OLS是不能满足这样的要求的（顺便复习一下BLUE的那些条件）。
  • implementable: 有的时候我们可以用现有的数据、花费大量的时间，来拟合一个漂亮的模型。但是，模型不是放在那里就可以的，在实际应用中大家更关心的是，模型建立之后对于日后决策的指导作用。可能1000个自变量拟合出来的模型比20个好10%到20%，但是在实际应用中，20个变量显然更实用...同理，有些非线性模型漂亮的一塌糊涂，但是计算复杂度可能远远不是多项式级别的。这个时候，退而求其次也不失为一记良策。说到底，有的时候并不要求最完美的模型，总要在性能和效率之间取得一个平衡。
  • 当然说到prediction，这里更多的就有statistical learning的味道了。回归多少还算是supervised learning，至少脑海里大致有个印象什么是回归方程那一边的y。更多的时候，连y是什么都没有概念，所以就有了基于similarity的模型，比如clustering，比如协同过滤...不过有句话确实说的好(摘抄自「统计学习那些事」)：

立新老师曾经有这么一句话：“If a method works well in practice, there must be some theoretical reasons for its success.” 如果一个模型在实践中表现的很好，那么一定有它好的原因。

所以基于上述三点（当然还有可能有更多的考虑），不同的模型对于不同的标准有着不同的达标水平。大家各有所长，用哪个还真得看实际任务的需求了。

「感悟三」，则是statistical learning (统计学习，有点机器学习的味道)的任务，这个是从「The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction」上照抄的：

  • 预测准确性要高：和上面的accuracy对应。
  • 发现有价值的预测变量：更有可能从归纳法回溯到演绎法，给出更多的insights。

最后的，稍稍偏数学一点。「The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction」里面第三章讲了很多Shrinkage Methods，关心的是varible selection(生物统计中feature selection)的问题。从大家最耳熟能详的stepwise（逐步回归），到ridge regression(岭回归)，再到Lasso(或者把LAR也算进来)。基本说来，ridge和Lasso是在OLS基础上一个很有意思的变化。

  • OLS求解的最优化问题是：
  • ridge regression则是加了一个L2惩罚项，即 ，其中t是一个给定常数参数。
  • Lasso则是把这个L2变成了L1，即

就这么一个简简单单的变化，就有了后面那么多神奇的性质。「感悟四」就是，原来Lasso思想并不是那么复杂啊。