梯度树提升算法(GTBA, gradient tree boosting algorithm)
继续boosting类算法哎。小小预告一下，下节课会直接跳到随机森林，老师貌似是想把各种分类器都一下子讲到，然后有点前后照应的比较～真有意思，若是以前扔给我这种问题我肯定run一个logit regression就不管了，现在倒是有各种线性的、广义线性的、非线性的模型可以试着玩了，爽哎～
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1. 自适应基函数模型
小小的复习一下上节课那个框架。
1. 数据。
2. 模型。 
为基函数模型，其中
成为基函数集合。
为参数。
3. 损失函数（准则）。 
为损失函数，然后就转为一个优化问题：
4. 算法。 前向分步算法。
- 初始化：
- 迭代：For m=1 to M，
- 令
。 - 输出
。
在此框架之下，除了上节课的Adaboost之外，还可以套用多种其他的基函数，然后1）定义损失函数 2）给出迭代那一步的优化算法，就可以实现一种boost提升算法了。
2. 应用回归问题
先采用均方误差的损失函数，定义
，这样就可以得到
然后定义：
，
。这里
之后用回归树来求的话，就是梯度回归树算法。
梯度回归树提升算法
- 初始化：
- 迭代：For m=1 to M，计算
。由用回归树求得
. - 令
。 - 输出。
3. GTBA，梯度树提升算法
先吹捧一下：这个算法就是此书作者本人开发的，然后已经搞出来了软件包，可以做回归也可以做分类，貌似效果还胜过随机森林（当然是作者自己给出的那些例子...）。
损失函数为可微的。
我们的优化目标是
，也就是说实际上我们不是直接对进行优化，而是仅仅在所有观测的数据点上优化，所以仅跟
在这些观测点上的值有关。感觉这里就是说，我们使用有限的观测到的信息来推断一个连续的函数，然后类推并用于其他未观测到的点。
定义：
，这样这个问题就从一个直接优化的泛函问题转化为一个优化多元函数的问题...而对于一个多元函数，我们可以直接用梯度下降法。定义梯度为：
，这样
。类似的，我们可以定义
，其中
。累加起来，就是
，这里
可以是常量也可以随着
改变。
定义完梯度下降之后，就是GTBA算法了。
- 初始化。
- 迭代：For m=1 to M，计算
，然后由
用回归树求得。 - 令。
- 输出。
一些梳理
1. 参数。这里显然有如下参数需要设定：
- M：迭代次数。这是这个算法最主要的参数，需要用Cross-validation来算。
- J：树的大小。建议4-8，默认为6。
：收缩系数。
这里可以加上这个参数，决定收缩的速度，0-1之间。
：次采样率，0-1直接，默认0.5。用于做subsampling。
2. 特征变量评价
这个算法的一大优势就是可以给出各个自变量的评价。比如
的时候我们可能面临特征变量选择问题。
用t表示树中的节点，
表示t节点所用的变量，
表示t节点产生的均方误差的减小值。之后定义：
，可用这个值来刻画变量的重要性，从而进行特征评价。
3. 通用工具
该算法对于数据无特殊要求，有一批都可以扔进去试试，故可以作为其他算法的benchmark。
此外，从贝叶斯分类器的角度，我们要找的是
，这样除了原有可以观测到的
之上，还可以衍生出一个
向量，即
，第k个位置为1如果观测到的
对应第k类。一下子就可以扩展整个数据集，也可以进一步对每类都赋一个概率，不单单是0-1这样。
