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统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)课堂笔记（二十五）：降维和PCA

 降维

降维完全属于unsupervised learning了，即给定数据集，我们希望降到q维的。从这个角度来讲，降维和聚类还是有相通之处的，都是对于特征的提取。只是一个从行的角度出发，一个对列操作的感觉。

PCA（主成分分析，Principle Component Analysis）

个人觉得这也是起名字起的比较好的模型之一...乍一听起来很有用的感觉 -_-||

1. 求,使得，且最大。

PCA

直觉上来讲，就是想寻找一个主方向。

这样，求解问题为：

。所以我们只需要求一阶导数即可。

设A为对称矩阵，则存在正交阵使得，其中为A的特征值矩阵，故(列向量为特征向量）。不失一般性，我们可以排序使得（从大到小排序）。

最大特征值:

同时为x的相关矩阵，，从而

2. 找到(q维的子空间）

将投影到该q维空间，这样，且最小。

A矩阵的范数：
tr表示矩阵的迹（对角线元素和）。

则上述问题等价于，求使得最小。

最小。

即使得最大（注意没有负号）。

称为数据的相似矩阵。

和均为对称阵，且两个阵有相同的特征值。记为A的秩，AA'的特征向量，A'A的特征向量，则，。做奇异值分解，则.

由此，求得的和前述结果等价。

回到PCA。如果降维后需要重构，则，解即可。

3. 对偶PCA。如果即数据非常高的时候，可以转置后再做。

4. KPCA （kernel）PCA也可以先用核函数，即实现非线性的降维。需要注意，降维的过程需要保持可逆。

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PS. PCA不适合解决overfitting的问题。如果需要解决，加regularization项。

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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（九）

眼瞅着这学期也快接近尾声了，也在讲我越来越不熟悉的东西了...

核平滑与局部方法

1. 核平滑器

(1) K-NN（K近邻）

KNN的思想已经说过很多遍了，大致就是找点x的k个近邻，然后取其平均值作为x点y的预测值。不过这里我们就在想了，可不可以加权呀~于是从最简单的，我们给他按距离算个加权平均：,其中代表权重，离x点越近越大，越远越小。这样听起来更make sense一点嘛~近朱者赤，近墨者黑。

(2) 单峰函数

顾名思义，就是长得像一个山峰的函数，比如我们最经典的正态钟型函数，或者翻过来的二次抛物线函数等等。

(3) 权重（按距离）

我们定义权重，再进一步归一化：。

多维的情况下，写成矩阵形式就是，其中A为正定对角阵，然后我们就可以加权了。

2. 局部方法

(1) 一般概念

我们有数据集，然后定义函数族。再定义损失函数, 我们的目标就是最小化。

相应的引入了加权的概念之后，我们就可以定义加权损失函数：，然后对于每个x做优化，寻找使其最小化的。

(2) 具体例子

(i) 局部回归： ，则损失函数为，其中代表已经归一化的权重。

在线性的情况下，我们有，有点类似于我们常见的加权最小二乘法。这里的思想也是，在x点附近的点权重会比较大，离x远的权重则比较小，整体感觉就是在x点附近做了一个回归分析。

(ii) 局部似然：和局部回归蛮像的，只是把损失函数换成（对数）似然函数，即从最大化 到现在的最大化加权似然函数。

3. 密度估计与分类

(1) 密度与分类: 我们有x和观测结果G的联合分布：，其中为先验的结果分布，在有K类结果的情况下，写成。这样，也可以写开为 其中。

反过来，后验概率，所以我们有贝叶斯分类器。

(2) 密度估计

为了使用贝叶斯分类器，我们需要先对密度进行估计。

(i) 直方图： 最简单的就是根据直方图来估计密度，这个没什么好说的...

(ii) 核估计方法（Parzen）：Parzen提出的核密度估计为，该估计当且在减小的时候，收敛于。

4. 核作为基函数

密度函数，然后定义函数族，则其中我iyigexianxingde参数，为指定的函数类，亦为函数参数。这样的话我们有三个函数的参数，指定某一个便可以简化函数形式。不过这里的问题是，没有很好的算法来求解优化问题。比如对于正态分布，我们以写出来，然后的求解就比较复杂了。

上面的两个是非参数方法，下面说一些参数方法。

(iii) 混合模型（GMM, Gauss Mixed Model）

，其中参数有，然后可以利用最大似然准则，最大化，具体算法可用EM，下节课详述。

-----稍稍跑题------

GMM，我印象中它怎么是 Generalized Moment Method, 广义矩估计呢？果然是被计量经济学祸害太深了...

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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（八）

平滑splines

有数据集，然后定义目标函数，记为(1)

式。然后我们有如下结论：使（1）最小化的解一定是分段三次多项式。

证明如下。

记为函数族上的分段三次多项式（splines），且在首尾两段和上是一次多项式，那么他一定有的自由度。

若，则当时，有。

(2) 我们设也是(1)式的解，则下面证明一定能找到使得目标函数比小，则,

.

(3)记，则

(4) 下面我们证明，（两者内积为0），即。

且

所以得到。

(5)有了上述结论后，我们有，然后有，所以对于所有的g，我们都有其二阶导数的范数小于f的二阶导数的范数，故在(1)式中代入g总比代入f大（或者相等）。这样我们就把一个无限维的最优化问题变为了有限维。

子波分析

1. 函数的平移与缩放

平移：

缩放：

组合起来就是。由此，对于每个，我们可以定义一个函数族，写成矩阵形式就是

2. Hoar函数

(1)定义： 。

(2)Hoar函数的平滑与缩放。定义Hoar函数族为,

。这样我们每个为一组（胖瘦一样）。

定理1（正交）：是平方可积函数的一个正交基，即对于任意的，有。

定理2（增长）：随着d的增加，张成的闭子空间逐渐增大，且。这样，d比较小的函数一定能用d比较大的函数（正交基）来表示，比如。直观的理解就是，d越大，分辨率越高。

定理3（完备）：

(3)定义，使，或者。

(4)定义，然后。

定理4：函数族,，则亦为完备基，且，如果。也就是说，和之间的空间随着d的增加，彼此正交，且所有的叠起来之后亦为完备空间。

如此，我们称为子波（mother）而为father函数。注意，这里Hoar函数非连续。

在更一般的场合，我们寻找为father函数，然后定义，满足（正交），且（增长），（完备）。

再寻找mother函数满足（同层次内正交）、(相邻层次正交补）和完备。

这样的和到底存不存在呢？实证结论是存在，而且很多，不过坏消息是他们的形式都不算简单。

spline和子波分析

spline和子波分析都提供了一组线性基底，其线性组合可以定义函数类。由此，我们可以定义广义线性模型的函数族，为统计学习模型的函数族做约束。

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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（七）

例行的废话。刚刚看了一下Google Analytics里面的统计，那篇七天搞定SAS果然不负众望的摘得了（单篇博文）点击量桂冠。意外的是居然有那么多人会点击到“关于我”这个页面...呃，对我这么好奇么？

2 /learning-sas-in-7-days-1/
3 /coursera上的r语言课程/
4 /r会议小记/
5 /使用lyxxetex编译中文tex和输出中文pdf/
6 /中文文本聚类小尝试（text-clustering-in-r）/
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8 /?统计学习精要the-elements-of-statistical-learning?课堂笔记（一）/
9 /快速将word的doc文件转为latex！/
10 /?统计学习精要the-elements-of-statistical-learning?课堂笔记（三）/

不过他的后续就比较悲催了，点击量寥寥。然后还不出意外的，weibo超越google成为了流量来源第一：

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果然最近墙发威比较厉害...google啊google...

另外，出乎意料的是一些旧文反而受欢迎，哎~还好看到《统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)》课堂笔记系列一直有点击，也算是这一系列写的比较值得吧。今天继续。

----------------笔记开始-----------------

貌似是第五章，不过老师一直在讲一些非常基础的数学预备工具：基展开与正则化，其中用到泛函概念若干。我不知道该开心呢，还是不开心呢，还是开心呢，毕竟泛函学过，毕竟泛函忘得也差不多了...

1. 预备知识

在P维欧氏空间内，我们定义两个运算：加法（x+y）和数乘()，然后定义一下函数空间：上的平方可积函数，同样的定义加法和数乘：f+g和).

接下来还有若干概念...呜呼：

  • 线性组合：
  • 线性独立
  • 线性子空间：我们可以定义线性子空间， , 有.
  • 基
  • 维数

这些概念连上运算加法和数乘一起，构成线性空间。进一步的，我们可以定义内积空间：

  • 内积：（离散）或连续
  • 之后的正交就很容易定义了：或者
  • 还可以定义正交基...
  • 还有正交子空间：
  • 正交补： , 使得 且，比如最简单的二维空间里面，X轴和Y轴...
  • 范数：

有了范数以后，我们就可以进一步的定义极限：如果 , 则 ；或者连续的，。

然后就是闭子空间的概念了：如果 ，且 ，则必有 ，即极限点都在空间内。注，在有限维空间内，只有空集和全集既开又闭。

还有完备基...总之大致的就是一步步的：定义内积 ->; 内积空间 ->; 存在可数的完备正交基 ->; Hilbert空间（有限维完备空间）

2.B-splines（样条）

2.1 定义

B-splines更多的是一种用离散逼近连续的感觉...好吧我承认我是完全的没有接触过这个东西，扫盲中...

首先，我们有一个闭区间[a,b],然后有个点聚集在其中，且依次增大。然后我们就可以定义一个函数集合： ，然后对于d=0 ,定义分段函数 ，然后就可以递归的定义

举个例子呢，就有. 这样下去，有：

  • d=0，0阶的时候，只有一段函数上有非零值；
  • d=1，1阶的时候，有两段函数有非零值；
  • d=2，2阶的时候，有三段函数有非零值...

2.2 性质

  • 性质一： 是分段的d次多项式；
  • 性质二：局部性：， 当 或者；
  • 性质三：光滑：是d-1阶光滑的多项式，即d-1阶导数都等于0；
  • 性质四：如果某一函数满足性质三，则必然和只相差一个常数因子。

2.3 d阶B-splines

我们可以用B-splines来逼近任意一个函数，则有，从这个角度看B-splines有点基底的味道。从分段多项式，到光滑的分段多项式，再到d-1阶光滑的d次多项式，我们就有了 d阶B-splines...

------笔记结束---------

讲了这么多，我一直在猜这些到底是用来干什么的呢...不知道接下来的哪些内容用到了完备内积空间、基展开和线性逼近呢？